Qué mide la dispersión de los rendimientos y qué preguntas decisivas quedan fuera
Los datos, distribuciones y trayectorias son exclusivamente sintéticos.
Dos inversiones pueden presentar la misma volatilidad y terminar el año con el mismo resultado. Una de ellas puede haber sufrido una caída máxima del 4 % y la otra una del 21,7 %. También podemos construir dos distribuciones con idéntica media y volatilidad en las que la peor pérdida sea, respectivamente, del 10 % y del 30 %.
No hay ninguna contradicción matemática. La volatilidad no fue diseñada para contestar por sí sola cuándo se producen las pérdidas, cómo se acumulan, qué forma tiene la cola negativa o si el decisor podrá mantener su posición.
La confusión aparece al convertir una medida útil de dispersión en una definición completa del riesgo. La volatilidad responde a una pregunta estadística; el riesgo solo adquiere sentido cuando también definimos la decisión, el objetivo y las restricciones.
Si observamos \(n\) rendimientos periódicos \(r_1,\ldots,r_n\), su volatilidad muestral puede expresarse como:
\[ s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{t=1}^{n}(r_t-\bar r)^2} \tag{1}\]
La fórmula mide la dispersión de los rendimientos alrededor de su media. Tanto las observaciones superiores como las inferiores a esa media contribuyen al cálculo. Un resultado inesperadamente favorable también aumenta la volatilidad.
La cifra depende de decisiones previas que conviene hacer visibles:
Por tanto, «una volatilidad del 12 %» todavía es una descripción incompleta si desconocemos la convención y el periodo a los que se refiere.
La crítica a una equivalencia excesiva no exige renunciar a la volatilidad. Su éxito tiene buenas razones.
Resume muchas observaciones en una unidad comparable, entra de forma natural en el análisis de covarianzas y permite estudiar cómo se combina la dispersión de distintos activos dentro de una cartera. El trabajo de Markowitz formalizó la selección de carteras relacionando rendimiento esperado y varianza, sin reducir la decisión a la rentabilidad media (Markowitz, 1952).
También permite formular modelos, límites y contrastes que serían difíciles con una colección desordenada de escenarios. Cuando las distribuciones son suficientemente simétricas, los horizontes son comparables y las restricciones del decisor no introducen asimetrías relevantes, puede ser una aproximación muy informativa.
El problema no está en medir dispersión. Está en llamar «riesgo» a todo aquello que la cifra no ha medido.
Consideremos doce rendimientos mensuales: seis meses con una pérdida del 4 % y seis meses con una ganancia del 5 %. Construiremos dos inversiones hipotéticas utilizando exactamente esas mismas doce observaciones.
En la trayectoria alternada, cada pérdida va seguida de una ganancia. En la trayectoria agrupada, las seis pérdidas ocurren primero y las seis ganancias después. Como el conjunto de rendimientos es idéntico, ambas series tienen la misma media y la misma volatilidad. Como la multiplicación no depende del orden, también terminan con el mismo patrimonio.
La Tabla 1 confirma qué permanece igual y qué cambia.
tabla_trayectorias <- resumen_trayectorias
tabla_trayectorias[-1] <- lapply(
tabla_trayectorias[-1],
formato_porcentaje
)
knitr::kable(
tabla_trayectorias,
align = c("l", "r", "r", "r", "r")
)| Trayectoria | Media mensual | Volatilidad mensual | Resultado total | Máximo drawdown |
|---|---|---|---|---|
| Alternada | 0,5 % | 4,7 % | 4,9 % | -4,0 % |
| Pérdidas agrupadas | 0,5 % | 4,7 % | 4,9 % | -21,7 % |
En ambos casos, la media mensual es del 0,5 %, la volatilidad muestral del 4,7 % y el resultado acumulado del 4,9 %. Sin embargo, la mayor caída desde un máximo previo es del 4 % en la serie alternada y del 21,7 % cuando las pérdidas se agrupan.
El drawdown en el momento \(t\) compara el patrimonio \(W_t\) con el máximo alcanzado hasta entonces:
\[ D_t=\frac{W_t}{\max_{u\leq t} W_u}-1 \tag{2}\]
El máximo drawdown es la caída más profunda de toda la trayectoria. Es una medida dependiente del camino recorrido y se utiliza para estudiar la magnitud de pérdidas sostenidas desde un máximo (Magdon-Ismail & Atiya, 2004).
navy <- "#0A2342"
gold <- "#B08A4A"
cream <- "#FAF7F0"
grey <- "#6B6357"
old_par <- par(
mar = c(4.8, 4.8, 1.2, 1.2),
bg = cream,
fg = navy,
col.axis = grey,
col.lab = navy,
family = "sans"
)
matplot(
trayectorias$Mes,
trayectorias[c("Alternada", "Agrupada")],
type = "l",
lty = c(1, 1),
lwd = c(2.5, 2.5),
col = c(navy, gold),
xlab = "Mes",
ylab = "Índice de patrimonio (inicio = 100)",
axes = FALSE,
ylim = c(76, 106)
)
grid(col = "#DED8CC", lty = 1)
axis(1, at = 0:12, col = navy, col.axis = grey)
axis(2, at = seq(80, 105, by = 5), las = 1, col = navy, col.axis = grey)
box(col = navy)
legend(
"bottomright",
legend = c("Alternada", "Pérdidas agrupadas"),
col = c(navy, gold),
lwd = 2.5,
bty = "n",
text.col = navy
)
par(old_par)
La diferencia puede ser decisiva. Si existe una necesidad de liquidez en el sexto mes, una garantía que deba mantenerse o una restricción que obligue a vender tras determinadas pérdidas, el resultado final deja de ser accesible. La volatilidad de las doce observaciones no contiene esa información temporal.
La volatilidad ignora el orden de las observaciones. Dos trayectorias pueden compartir media, volatilidad y resultado final, pero imponer necesidades de liquidez y pérdidas intermedias muy diferentes.
El orden no es el único elemento que desaparece. La varianza tampoco distingue por sí sola entre una dispersión simétrica y una distribución dominada por una pérdida infrecuente.
Comparemos dos resultados posibles para un único periodo:
| Distribución | Resultados posibles | Probabilidades | Media | Volatilidad | Peor resultado |
|---|---|---|---|---|---|
| Simétrica | −10 % / +10 % | 50 % / 50 % | 0 % | 10 % | −10 % |
| Pérdida infrecuente | −30 % / +3,33 % | 10 % / 90 % | 0 % | 10 % | −30 % |
Ambas distribuciones tienen esperanza cero y desviación típica poblacional del 10 %. La segunda ofrece un resultado positivo nueve de cada diez veces, pero concentra toda la compensación estadística en una pérdida del 30 %. La cifra de volatilidad no indica por sí sola qué forma adopta esa dispersión.
Los rendimientos financieros observados tampoco tienen por qué seguir una distribución normal estable. La evidencia empírica documenta colas más pesadas y periodos de alta y baja volatilidad agrupados en el tiempo (Cont, 2001). Por eso una estimación basada en una muestra tranquila puede describir mal escenarios que no aparecen —o aparecen pocas veces— en esa muestra.
El valor en riesgo —value at risk o VaR— no es la volatilidad traducida a euros. Es un umbral de pérdidas asociado a tres elementos que deben declararse: una cartera o exposición, un horizonte temporal y un nivel de confianza.
Por ejemplo, un VaR diario al 99 % de 2.000 euros para una cartera hipotética significa que, bajo el modelo y los datos utilizados, el umbral de pérdida del 99 % de la distribución es 2.000 euros. Aproximadamente un 1 % de los resultados modelizados queda en una zona de pérdidas superiores.
Esta medida introduce dos cambios valiosos respecto de la volatilidad:
Pero el VaR tampoco agota el riesgo. No afirma que 2.000 euros sea la pérdida máxima ni informa de la severidad de las pérdidas una vez atravesado el umbral. Dos distribuciones pueden compartir VaR y tener colas posteriores muy distintas. Además, el resultado sigue dependiendo del modelo, la muestra, el horizonte y las hipótesis sobre el comportamiento de los mercados.
Medidas como la pérdida esperada condicionada —también denominada expected shortfall o CVaR en determinados contextos— desplazan la pregunta hacia la pérdida media en la cola que supera el umbral (Rockafellar & Uryasev, 2000). El cambio de medida mejora una parte del análisis; no elimina la necesidad de escenarios, pruebas de tensión y juicio sobre aquello que el modelo no representa.
El ensayo de Nassim Nicholas Taleb, El cisne negro, es una lectura pertinente para prolongar esta cuestión (Taleb, 2024). Su interés aquí no reside en ofrecer otra fórmula de riesgo, sino en obligarnos a pensar en sucesos infrecuentes de gran impacto, en los límites de aprender únicamente de lo observado y en la facilidad con la que explicamos retrospectivamente lo que no supimos anticipar.
Es una obra deliberadamente ensayística y polémica. Conviene leerla como complemento intelectual de la literatura académica y no como sustituto de la definición técnica, la estimación o el contraste de una medida concreta.
La desviación respecto de la media trata del mismo modo una sorpresa positiva y una negativa. Un decisor, en cambio, suele tener umbrales.
Puede necesitar preservar un capital mínimo, atender pagos en una fecha, mantener una garantía o evitar una pérdida que haga inviable un proyecto. En esos casos importa la probabilidad y la magnitud de quedar por debajo del objetivo, no solo la dispersión alrededor de la media.
Roy propuso un criterio de «seguridad primero» centrado en evitar resultados por debajo de un nivel desastroso (Roy, 1952). Fishburn desarrolló después un análisis en el que el riesgo se asocia a rendimientos inferiores a un objetivo (Fishburn, 1977). Estas aproximaciones no prueban que exista una única medida correcta; muestran que la definición cambia cuando la pregunta del decisor cambia.
La volatilidad puede formar parte de un buen análisis, pero necesita compañía. La Tabla 3 separa preguntas que suelen mezclarse bajo una sola palabra.
| Dimensión | Pregunta | Qué evidencia adicional puede hacer falta |
|---|---|---|
| Objetivo | ¿Qué probabilidad existe de no alcanzar el nivel necesario? | Umbral, horizonte y distribución de resultados respecto del objetivo |
| Cola negativa | ¿Qué pérdida puede producirse en los escenarios adversos? | Cuantiles, pérdida esperada condicionada y pruebas de tensión |
| Trayectoria | ¿Cuánto puede caer el patrimonio antes de recuperarse? | Drawdown, duración de la caída y secuencia de flujos |
| Liquidez | ¿Podrá deshacerse la posición o financiarse sin alterar sustancialmente el resultado? | Profundidad de mercado, costes, garantías y necesidades de efectivo |
| Modelo | ¿Qué riesgos no aparecen en la muestra o dependen de supuestos frágiles? | Escenarios, sensibilidad, datos alternativos y juicio profesional |
| Capacidad | ¿Puede este decisor sostener la pérdida y el tiempo de recuperación? | Horizonte real, compromisos, tolerancia y capacidad económica |
No todas estas dimensiones se convierten de forma útil en un único número. La literatura sobre medidas coherentes de riesgo muestra precisamente que una medida debe juzgarse también por las propiedades que conserva y por el uso al que se destina (Artzner et al., 1999). Añadir cifras sin aclarar la decisión puede dar una apariencia de exhaustividad sin mejorar el razonamiento.
Antes de interpretar una cifra de volatilidad conviene preguntar:
La respuesta no consiste en sustituir siempre la volatilidad por otra medida. Consiste en elegir un conjunto de evidencias acorde con la pregunta. Una cartera puede requerir análisis de covarianzas; una obligación futura, probabilidades de incumplir un umbral; una posición ilíquida, escenarios de salida; y una decisión apalancada, atención especial a la trayectoria y las garantías.
La volatilidad conserva así su verdadero valor: es una medida clara de dispersión, no una promesa de que todos los riesgos relevantes han quedado resumidos.
Una medida de riesgo no es el riesgo mismo. Es una representación seleccionada para una finalidad.
La volatilidad describe cuánto se separan los rendimientos de su media bajo una convención determinada. No identifica automáticamente la pérdida que amenaza un objetivo, el momento en que puede ocurrir, la liquidez disponible ni la capacidad de atravesarla. Los dos ejemplos sintéticos lo hacen visible: conservar media y volatilidad no conserva necesariamente la cola negativa ni la trayectoria.
La pregunta rigurosa no es «¿cuál es el riesgo?», como si debiera existir una cifra universal. Es: ¿qué resultado adverso importa en esta decisión, durante qué horizonte y qué evidencia necesitamos para estudiarlo?
Los ejemplos son didácticos y no representan productos o carteras reales. El artículo no recomienda inversiones, no evalúa la idoneidad de una estrategia y no sustituye un análisis individual de objetivos, situación financiera y capacidad para asumir pérdidas.