Rentabilidad esperada no es rentabilidad prometida
Qué resume una media, qué depende del modelo y qué debe preguntar quien decide
Finanzas y decisiones
Modelos
Incertidumbre
Una explicación de la rentabilidad esperada como resultado condicionado por escenarios y supuestos, no como una promesa sobre el futuro.
Autor/a
Alberto Bernat
Una rentabilidad esperada del 4,5 % no significa que una inversión vaya a ganar un 4,5 %. Tampoco significa, necesariamente, que el 4,5 % sea el resultado más probable. Puede ocurrir incluso que ninguno de los escenarios considerados produzca exactamente esa rentabilidad.
La cifra sigue siendo útil. Obliga a expresar qué resultados se contemplan y qué peso se atribuye a cada uno. Pero esa utilidad desaparece cuando presentamos la media sin la distribución que resume o cuando confundimos una estimación condicionada por un modelo con una propiedad del futuro.
Esa es la distinción que importa: esperar, en sentido matemático, no equivale a prometer, en sentido económico o contractual.
El resultado pertenece a un modelo
Supongamos que un análisis contempla \(n\) escenarios. Para cada escenario \(s\) se define una rentabilidad \(R_s\) y una probabilidad o ponderación \(p_s\). La rentabilidad esperada puede escribirse como:
\[
E(R\mid M) = \sum_{s=1}^{n} p_s(M)R_s(M)
\tag{1}\]
donde \(p_s(M)\geq 0\) y \(\sum_{s=1}^{n}p_s(M)=1\).
La notación \(M\) hace explícito algo que a menudo queda escondido: escenarios, rentabilidades y probabilidades pertenecen a una representación del problema. Si cambia la información, el horizonte, el procedimiento de estimación o el juicio de quien analiza, puede cambiar \(M\) y, con él, la cifra esperada.
La formulación clásica de selección de carteras de Markowitz no estudia el rendimiento esperado de manera aislada. Lo relaciona con la dispersión de los resultados y con la elección entre combinaciones posibles (Markowitz, 1952). La media es una entrada de la decisión, no una descripción completa de la incertidumbre.
Un ejemplo con tres resultados posibles
Consideremos una inversión hipotética a un año con tres escenarios terminales:
Las rentabilidades —−18 %, 6 % y 24 %— son idénticas en las tres lecturas. Solo cambia el peso atribuido al escenario adverso y al favorable. La Tabla 1 muestra el efecto.
Tabla 1: Una misma inversión hipotética bajo tres ponderaciones de escenarios
Lectura
Adverso
Central
Favorable
Rentabilidad esperada
Más peso adverso
35 %
50 %
15 %
0,3 %
Ponderación simétrica
25 %
50 %
25 %
4,5 %
Más peso favorable
15 %
50 %
35 %
8,7 %
Con una ponderación simétrica de los escenarios extremos, la rentabilidad esperada es del 4,5 %. Sin embargo, los únicos resultados contemplados son −18 %, 6 % y 24 %. El 4,5 % no es uno de los resultados posibles del ejemplo: es la media ponderada de los tres.
La misma estructura produce una rentabilidad esperada del 0,3 % cuando se desplazan diez puntos porcentuales desde el escenario favorable hacia el adverso, y del 8,7 % cuando el desplazamiento se realiza en sentido contrario. La fórmula no ha cambiado. Han cambiado sus entradas.
Qué demuestra el ejemplo
Una cifra esperada puede ser aritméticamente coherente dentro de un modelo y, al mismo tiempo, no ser el resultado más probable, no coincidir con ningún resultado posible y ser muy sensible a supuestos razonables.
La sensibilidad debería acompañar a la cifra
La Figura 1 mantiene el escenario central con un peso del 50 % y traslada probabilidad entre los escenarios adverso y favorable. El objetivo no es proponer probabilidades adecuadas, sino observar cuánto depende la media de esa elección.
Figura 1: Sensibilidad de la rentabilidad esperada al peso del escenario adverso. El escenario central mantiene un peso del 50 % y el favorable recibe el peso restante. Datos exclusivamente hipotéticos.
En este ejemplo, aumentar en diez puntos porcentuales el peso adverso y reducir en la misma medida el favorable disminuye la rentabilidad esperada en 4,2 puntos porcentuales. Mostrar únicamente el 4,5 % central ocultaría una parte decisiva del análisis.
La sensibilidad tampoco determina cuál de las tres ponderaciones es correcta. Su función es más honesta: indicar qué supuestos sostienen la conclusión y qué ocurre cuando dejan de sostenerla.
De dónde proceden las ponderaciones
En un ejercicio académico, las probabilidades suelen venir dadas. En una decisión real, asignarlas puede ser la parte más difícil del análisis. Al menos cuatro procedimientos pueden intervenir:
Frecuencias históricas. Describen cuántas veces ocurrió algo en una muestra. Para trasladarlas al futuro hay que decidir si el periodo, el mercado y las condiciones siguen siendo comparables.
Un modelo estadístico o económico. Relaciona variables y estima una distribución. Sus resultados dependen de la especificación, los datos y la estabilidad de las relaciones supuestas.
Información contenida en precios de mercado. Puede ayudar a inferir cómo se valoran determinados estados, pero esa valoración incorpora condiciones de mercado y no debe confundirse automáticamente con una frecuencia futura.
Juicio experto. Permite incorporar información que una muestra no recoge, a cambio de exigir que criterios, desacuerdos y revisiones queden documentados.
Estos procedimientos pueden combinarse. Lo importante es no presentar su resultado como si las ponderaciones hubieran aparecido antes que el análisis. Una tabla con probabilidades que suman uno es matemáticamente válida; todavía falta explicar por qué esas probabilidades y no otras representan adecuadamente la pregunta.
La transparencia también permite localizar el desacuerdo. Dos personas pueden coincidir en las consecuencias de cada escenario y discrepar solo en sus pesos. En ese caso, discutir de nuevo la fórmula aporta poco: conviene estudiar la información que sostiene cada ponderación y comprobar si la decisión cambia dentro de un intervalo razonable.
Lo que queda fuera también importa
El cálculo asigna todo el peso a los escenarios incluidos. Por construcción, un resultado omitido recibe una probabilidad de cero dentro del modelo. Eso no demuestra que sea imposible en el mundo.
Esta diferencia importa cuando la distribución puede contener rupturas, asimetrías o pérdidas poco frecuentes pero relevantes. Añadir muchos escenarios no resuelve automáticamente el problema: puede crear una apariencia de exhaustividad sin mejorar la información. El analista debe explicar por qué el conjunto utilizado resulta adecuado para la decisión y qué acontecimientos podrían dejarlo obsoleto.
Por eso el análisis de escenarios no termina al calcular la media. También debe preguntar qué resultados afectarían materialmente a la decisión aunque no puedan recibir una probabilidad precisa. Reconocer una incertidumbre difícil de medir es más informativo que esconderla detrás de un cero.
Estimar no es observar
Una rentabilidad realizada pertenece al pasado. Una rentabilidad esperada se refiere a una distribución futura que no observamos directamente. Los datos históricos pueden informar la estimación, pero no convierten el promedio pasado en una expectativa futura automática.
Merton estudió precisamente los problemas de estimar el rendimiento esperado del mercado y mostró que el procedimiento depende de la especificación y de cómo se tratan propiedades cambiantes de los datos, como el nivel de riesgo (Merton, 1980). La dificultad no desaparece por disponer de una serie histórica larga ni por expresar el resultado con dos decimales.
El problema se vuelve especialmente visible cuando una estimación alimenta una optimización. En una comparación fuera de muestra de catorce modelos sobre siete conjuntos de datos, DeMiguel, Garlappi y Uppal encontraron que ninguno superó de forma consistente a una regla ingenua de ponderaciones iguales en las medidas que estudiaron; la ganancia teórica podía quedar compensada por el error de estimación (DeMiguel et al., 2009). Este resultado no invalida los modelos. Recuerda que la calidad de una salida depende también de la calidad y estabilidad de sus entradas.
Tres confusiones distintas
Esperada no significa más probable
La esperanza es una media ponderada. La moda sería el resultado con mayor probabilidad y la mediana separaría la distribución en dos mitades. Son conceptos diferentes. En el ejemplo, el escenario central del 6 % es el más probable en las tres lecturas, mientras que las medias esperadas son 0,3 %, 4,5 % y 8,7 %.
Esperada no significa garantizada
La fórmula no crea una obligación de pago ni limita los resultados que pueden ocurrir fuera del modelo. Para hablar de garantía habría que estudiar quién la ofrece, bajo qué condiciones y con qué capacidad de cumplirla. Nada de eso nace de calcular una media.
Esperada no significa suficiente para decidir
Dos alternativas pueden compartir la misma rentabilidad esperada y presentar distribuciones, pérdidas potenciales, horizontes o necesidades de liquidez muy distintos. La media no responde por sí sola cuánto puede perderse, cuándo puede necesitarse el dinero o qué error de modelo resulta tolerable.
Para qué sí sirve
Utilizada con disciplina, la rentabilidad esperada permite:
condensar una distribución para comparar alternativas bajo supuestos explícitos;
separar los escenarios considerados de los que se han omitido;
discutir de dónde proceden las probabilidades o ponderaciones;
realizar análisis de sensibilidad y detectar qué entradas dominan la conclusión;
documentar por qué una decisión parecía razonable con la información disponible en un momento determinado.
Ninguna de estas funciones requiere fingir certeza. Al contrario: la cifra gana valor cuando se presenta junto con sus límites.
Siete preguntas antes de aceptar una cifra
Antes de utilizar una rentabilidad esperada conviene preguntar:
¿Cuál es el horizonte y en qué unidades se expresa el rendimiento?
¿Qué escenarios se han incluido y cuáles se han dejado fuera?
¿De dónde proceden sus probabilidades: frecuencias históricas, un modelo, precios de mercado o juicio experto?
¿La cifra es nominal o real, y se presenta antes o después de costes e impuestos?
¿Cómo cambia cuando modificamos las entradas principales?
¿Qué muestra la distribución sobre pérdidas, asimetrías y resultados extremos?
¿Qué decisión concreta pretende informar y qué información adicional exige esa decisión?
Una respuesta rigurosa no siempre producirá una cifra más precisa. A veces producirá un intervalo más amplio, varios escenarios plausibles o una conclusión condicionada. Eso no debilita el análisis: evita atribuir al modelo un conocimiento que no posee.
Una conclusión modesta y útil
La rentabilidad esperada no predice por sí sola qué ocurrirá. Resume lo que un modelo afirma bajo determinadas entradas. Puede ordenar una conversación, comparar escenarios y revelar desacuerdos sobre supuestos. No puede prometer un resultado, sustituir la distribución completa ni decidir qué riesgo puede asumir una persona.
El uso responsable de una estimación comienza cuando dejamos de preguntar solo «¿cuál es la rentabilidad esperada?» y añadimos dos preguntas: «¿esperada bajo qué modelo?» y «¿qué ocurre si sus supuestos cambian?».
Carácter del ejemplo
Todas las cifras son sintéticas y tienen finalidad exclusivamente docente. No describen productos reales ni constituyen una recomendación de inversión.
Referencias
DeMiguel, V., Garlappi, L., & Uppal, R. (2009). Optimal versus naive diversification: How inefficient is the 1/N portfolio strategy? The Review of Financial Studies, 22(5), 1915-1953. https://doi.org/10.1093/rfs/hhm075
Merton, R. C. (1980). On estimating the expected return on the market: An exploratory investigation. Journal of Financial Economics, 8(4), 323-361. https://doi.org/10.1016/0304-405X(80)90007-0
