Laboratorio financiero · 03
Modelo de índice único
Observa cómo un índice común permite reconstruir muchas relaciones entre activos con menos información, y qué parte del riesgo queda fuera de esa explicación.
La pregunta que dejaron Markowitz y Tobin
Markowitz mostró que el riesgo de una cartera depende de las varianzas de sus activos y de sus covarianzas. Tobin separó después la elección de la cartera arriesgada \(T\) de la asignación entre esa cartera y el activo libre de riesgo. Pero construir \(T\) sigue exigiendo estimar y procesar la matriz completa de varianzas y covarianzas.
Con \(N\) activos arriesgados hacen falta \(N\) rentabilidades esperadas, \(N\) varianzas y \(N(N-1)/2\) covarianzas distintas. El número total de estimaciones es, por tanto, \(N(N+3)/2\): crece aproximadamente con el cuadrado del número de activos.
La simplificación de Sharpe
Sharpe (1963) propuso relacionar el rendimiento de cada activo con un único índice común. En su terminología original era el modelo diagonal; hoy suele presentarse como modelo de índice único. El índice podía representar el mercado bursátil, la producción, un índice de precios u otro factor considerado dominante. No tenía que ser necesariamente una cartera de mercado.
En notación moderna, el rendimiento del activo \(i\) se expresa como:
\[ R_i=\alpha_i+\beta_iR_I+\varepsilon_i \]
donde \(R_I\) es el rendimiento del índice; \(\alpha_i\) sitúa la relación característica del activo; \(\beta_i\) mide su sensibilidad al índice, y \(\varepsilon_i\) recoge la desviación residual que el índice no explica.
El modelo supone que \(E(\varepsilon_i)=0\), que el residuo no está correlacionado con el índice y que los residuos de activos diferentes no están correlacionados entre sí. Bajo ese supuesto, los activos se relacionan únicamente a través de \(R_I\).
Cómo utilizar el laboratorio
1
Mueve el índice
Observa cómo reaccionan los tres activos. Una línea más inclinada corresponde a una beta mayor.
2
Elige un activo
Compara su componente común \(\beta_iR_I\) con la parte independiente \(\alpha_i\).
3
Añade un residuo
Separa el resultado observado de la línea del modelo. La sorpresa afecta solo al activo elegido.
Para empezar: mantén el residuo en cero y mueve el índice de izquierda a derecha. Después selecciona el Activo 3, cuya beta es mayor, y compáralo con el Activo 1.
Tres ideas que muestra el gráfico
- Beta describe una sensibilidad. Si \(\beta_i=1{,}40\), una variación de un punto porcentual del índice se asocia, dentro del modelo, con una variación de 1,40 puntos en el activo. No significa que el activo vaya a ofrecer una rentabilidad del 140 % ni que sea mejor.
- El riesgo tiene dos componentes. Una parte procede del índice común y otra del residuo propio del activo. La diversificación puede reducir el efecto conjunto de muchos residuos si realmente no están correlacionados, pero no elimina la exposición compartida al índice.
- Las covarianzas se reconstruyen. En lugar de estimar cada pareja por separado, el modelo utiliza \(\beta_i\beta_j\sigma_I^2\). Esa economía de información depende enteramente del supuesto de que no queda relación entre los residuos.
Cómo leer la interacción
- Líneas características: muestran la relación estimada entre el índice y cada activo cuando el residuo es cero.
- Pendiente: es la beta del activo. Cuanto mayor es, más cambia la respuesta estimada ante el mismo movimiento del índice.
- Puntos pequeños: señalan el rendimiento que atribuye la línea a cada activo para el valor seleccionado de \(R_I\).
- Punto dorado: añade al activo elegido la sorpresa residual indicada en el control.
- Distancia vertical discontinua: representa \(\varepsilon_i\), la parte no explicada por el índice en esa observación.
Los valores son rendimientos hipotéticos de un mismo periodo. Un punto concreto no estima una beta: solo permite interpretar una relación cuyos parámetros se consideran ya dados.
De una matriz completa a un índice
El panel de información compara dos descripciones del mismo universo. El modelo completo requiere estimar cada covarianza. El modelo simplificado conserva para cada activo \(\alpha_i\), \(\beta_i\) y la varianza residual, y añade la esperanza y la varianza del índice: \(3N+2\) parámetros en la formulación de Sharpe.
Para 100 activos, el recuento pasa de 5.150 a 302 estimaciones; para 2.000, de 2.003.000 a 6.002 (Sharpe, 1963). La reducción era decisiva para la memoria y el tiempo de cálculo disponibles en 1963. Sharpe informó de que un ejemplo de 100 activos pasó de 33 minutos con un programa cuadrático general a 30 segundos con su programa diagonal, aunque la comparación dependía de aquellos equipos y algoritmos.
La matriz no se ha construido estimando directamente cuánto se mueve cada pareja de activos. El modelo calcula esas relaciones a partir de un único origen común: la sensibilidad de cada activo al índice. Por ejemplo, la covarianza entre los activos \(i\) y \(j\) se obtiene multiplicando sus betas por la varianza del índice. Esta simplificación ahorra muchas estimaciones, pero supone que cualquier relación adicional entre ambos activos es irrelevante.
Ver la formulación matemática
Si \(\sigma_I^2=\operatorname{Var}(R_I)\) y \(\sigma_{\varepsilon_i}^2=\operatorname{Var}(\varepsilon_i)\), entonces:
\[ E(R_i)=\alpha_i+\beta_iE(R_I) \]
\[ \operatorname{Var}(R_i)=\beta_i^2\sigma_I^2+\sigma_{\varepsilon_i}^2 \]
Para dos activos distintos \(i\) y \(j\):
\[ \operatorname{Cov}(R_i,R_j)=\beta_i\beta_j\sigma_I^2 \]
Si \(w\) conserva el significado de la colección —el vector de pesos de la cartera—, su beta y su residuo son:
\[ \beta_P=w'\beta, \qquad \varepsilon_P=w'\varepsilon \]
y, bajo el supuesto de residuos mutuamente incorrelacionados:
\[ \operatorname{Var}(R_P)=\beta_P^2\sigma_I^2+\sum_i w_i^2\sigma_{\varepsilon_i}^2 \]
Así, el primer término es el componente común del riesgo y el segundo reúne el riesgo residual de la cartera.
Lo que se pierde al simplificar
La reducción no es gratuita:
- dos empresas del mismo sector pueden compartir movimientos que el índice general no capta;
- los residuos pueden estar correlacionados durante crisis o acontecimientos comunes;
- alfa, beta y las varianzas pueden cambiar con el periodo de estimación;
- otro índice puede producir una descomposición diferente;
- una relación lineal y una medida basada en varianzas no describen todas las formas de riesgo.
El propio Sharpe calificó como preliminares y no concluyentes sus comparaciones empíricas con dos grupos de 20 acciones. El modelo simplificado no sustituye automáticamente a la matriz completa: propone una aproximación cuyo ahorro debe compararse con la información que se sacrifica.
Todavía no es el CAPM
Este laboratorio no utiliza la cartera de mercado \(M\) ni presenta una ecuación de valoración. La beta aparece aquí porque permite describir covarianzas mediante un índice común. No demuestra que la rentabilidad esperada de un activo venga determinada por su beta.
El CAPM que Sharpe (1964) desarrolló después añade supuestos de equilibrio y plantea una pregunta distinta. Solo bajo ese marco posterior podrá analizarse cuándo la cartera tangente común \(T\) se identifica con la cartera de mercado \(M\). Por ahora deben permanecer separados el índice estadístico \(I\), la cartera tangente \(T\) y la cartera de mercado \(M\).
El laboratorio utiliza tres activos ficticios y parámetros docentes. No emplea precios reales ni estima relaciones futuras. Su finalidad es exclusivamente educativa; no constituye asesoramiento ni una recomendación de inversión.
Continuar el recorrido
Sharpe reduce la información necesaria para construir carteras, pero todavía no explica cómo se forman los precios en equilibrio. El siguiente paso estudiará qué supuestos adicionales conectan riesgo sistemático, rentabilidad esperada y cartera de mercado.
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