Matemáticas Financieras (1)

Capitalización Simple

Las operaciones en régimen de capitalización simple se caracterizan porque los intereses, a medida que se van generando, no se acumulan y no generan intereses en períodos siguientes (no son productivos).

Siendo su fórmula:

Los ejercicio tipo son, por ejemplo:

Pregunta 1: Un cliente coloca 3.500€ en un depósito a tres meses (92 días), que ofrece un interés anual del 1,80%. Los intereses que percibirá al final del plazo y el capital final serán:

a. Percibirá 15,88€ de intereses y un capital final de 3.515,88€.

b. Percibirá 18,98€ de intereses y un capital final de 3.518,98€.

c. Percibirá 16,86€ de intereses y un capital final de 3.516,86€.

d. Percibirá 13,78€ de intereses y un capital final de 3.713,78€.

La respuesta correcta es la a.

CALCULADORA FC-100V/200V

Modo: SMPL

Set: 365 (Año natural o comercial)

Dys: 92 (Días)

I%: 1,80 (Tipo de interés nominal)

PV: 3.500 (Valor presente o principal)

Cálculo:

SI= -15,87945 (intereses)

SFV=-3.515,87945 (valor final)

Pregunta 2: Realizamos una imposición (depósito) por importe de 1.250 euros y al finalizar el plazo de la imposición obtenemos 1.345,26 euros. ¿Cúantos meses han tenido que pasar para que esto ocurra?. Considere un tipo de interés anual simple de 8,9%.

a) 10,27 meses.

b) 8,562 meses

c) 10,72 meses.

d) Ninguna de las anteriores.

La respuesta correcta es la a.

Aplicamos la fórmula del valor final en capitalización simple,

$$V_f=C_0\cdot (1+i\cdot n)$$

Despejamos n,

$$n=\frac{[\frac{V_f}{C_i}-1]}{i}$$

Calculamos el valor de $n$ en años,

$$\frac{[\frac{1,345.26}{1,250}-1]}{0.089}=0.8562$$

Finalmente, lo pasamos a meses,

$$n\left(meses\right)=n\cdot 12=10.27$$

Pregunta 3: Calcule el tipo de interés mensual equivalente en capitación simple a un TIN del 6% anual.

a. El tipo de interés mensual equivalente es 0,5%

b. El tipo de interés mensual equivalente es 0,48%

c. El tipo de interés mensual equivalente es 6,16%

d. Ninguna de las anteriores.

La respuesta correcta es la a.

Pregunta 4: Cuál será el capital inicial que tenemos que invertir hoy en una cuenta para lograr obtener 30.000 euros dentro de 3,5 años. El tipo de interés es de un 0,5% simple trimestral.

a) 28.991,14 euros.

b) 28.486,12 euros.

c) 29.348,59 euros.

d) 28.037,38 euros.

La respuesta correcta es la d.

Aplicamos la fórmula del valor final en capitalizacición simple,

$$V_f=C_0\cdot (1+i\cdot n)$$

Despejamos $C_0$,

$$C_0=\frac{V_f}{(1+i+n)}$$ Ahora obtenemos el tipo simple anual, a partir del tipo simple trimestral:

$$i{anual}=i{trimestral}\cdot m=0.005\cdot4=0.02$$

Y calculamos,

$$C_0=\frac{30000}{(1+0.02\cdot 3.5)}=28037.38$$

Luego, el capital inicial que tenemos que invertir hoy es de 28.037,38 euros.

Nota: el tipo de interés simple trimestral lo multiplicamos por 4 para obtener el tipo simple anual que aplicamos a la operación.

Alternativamente podemos calcular la operación multiplicando el periodo de 3.5 años por los 4 trimestres que tiene al año, y obtenemos el mismo resultado.

$$C_0=\frac{30000}{(1+0.005\cdot 14)}=28037.38$$

Pregunta 5: ¿Cuánto hemos de invertir hoy en un depósito, si queremos comprar un ordenador portátil dentro de un año y medio que valdrá 2.500 €, si nos lo retribuyen al 5,25% anual simple? Abono de intereses a vencimiento.

a. 2.217,50 euros.

b. 2.315,30 euros.

c. 2.317,50 euros.

d. Ninguna de las anteriores.

La respuesta correcta es la c.

Partiendo de la fórmula del valor final en capitalización simple,

$$V_f=C_0\cdot (1+i\cdot n)$$

Despejamos $c_0$,

$$C_0=\frac{V_f}{(1+i\cdot n)}$$

y calculamos,

$$C_0=\frac{2.500}{(1+0.0525\cdot 1.5)}=2317.50$$

Pregunta 6 Supongamos que un inversor compra un activo financiero que sigue un sistema de capitalización simple y que paga intereses mensualmente. Si el tipo de interés simple anual es del 10%, Cual será el interés simple mensual de esta inversión?

a. 0,83%

b. 0,83

c. 0,79%

d. 0,008

La respuesta correcta es la a.

Si aplicamos el interés simple fraccionado,

$$i^{\ast }=\frac{i}{m}$$

Tenemos el equivalente al interés simple anual de referencia, pero para un periodo de tiempo inferior al año ($m=12$).

Entonces,

$$i^{12}=\frac{i}{12}=\frac{0,10}{12}=0,0083\left(\text{0,83}\%\right)$$

Pregunta 7: Suponga que el Valor actual de 50.000€ que se pagarán dentro de un año es 49.261,08€. En ese caso:

a. El factor de descuento a un año utilizado es 0,9852

b. El tipo de interés aplicado es un 1.5% anual.

c. Se necesita el sistema de capitalización utilizado para poder calcular el factor de descuento.

d. El tipo de interés aplicado es un 1,5% y el factor también es 0,9852

La respuesta correcta es la d.

Al factor $(1+i\cdot n)$ se le denomina factor de capitalización simple.

De la fórmula del valor actual en capitalización simple,

$$C_0=\frac{C_f}{(1+i\cdot n)}$$

Donde,

• $C_0$, es el capital inicial.

• $C_f$, es el capital final.

• $i$, es el tipo de interés.

• $n$, es el tiempo transcurrido.

despejamos el tipo de interés (que NO de descuento):

$$49.261,08=\frac{50.000}{(1+i\cdot 1)}=>i=0,015(1,5\%)$$

Luego si el factor de capitalización simple es $(1+i\cdot n)$, su valor será de:

$$F_s=\frac{1}{(1+i\cdot n)=\frac{1}{(1+0,015\cdot 1)=0,9852$$

Y, en este caso particular, como $n=1$ tenemos que el factor de capitalización simple coincidirá con el de capitalización compuesta:

$$F_c=(1+i{)}^{-n}=(1+0,015{)}^{-1}=0,9852$$

Pregunta 8: Una acción se compra a primeros de año por 85€, al final de ese primer año la acción vale 94€ y cobramos un dividendo de 5€. Al final del segundo año vendemos la acción en 102€. La rentabilidad simple de esta inversión en el período ha sido:

a. 12,42%.

b. 25,88%.

c. 12,20%.

d. 12,52%.

La respuesta correcta es la b.

Tenmos que aplicar la fórmula de la rentabilidad esperada de un activo $R_s$ entre dos periodos, teneiendo en cuenta el dividendo cobrado $d$ durante el periodo de tenencia del activo:

$$R_s=\frac{(P_f+d)-P_i}{P_i}$$

Donde,

$R_s$, es la rentabilidad del periodo $t,t-1$.

$P_f$, es el precio final.

$P_i$, es el precio inicial.

$d$, es el dividendo.

$$R_s=\frac{(5+102)-85}{85}=0,2588(25,88\%)$$

Es importante no confundir la Rentabilidad Simple con la Capitalización Simple