Tasa Interés Nominal y Tasa Anual Equivalente
La TAE es el tipo de interés anualizado del tipo de interés efectivo que se ha utilizado en una operación financiera. Además, permite comparar distintos productos financieros similares ofrecidos por diversas entidades financieras.
Relación entre TAE (tasa anual equivalente) y TIN (tipo nominal)
$$\left(1+TAE\right)=\left(1+\frac{j\left(m\right)}{m}\right)^m$$ Luego,
$$TAE=\left(1+\frac{j\left(m\right)}{m}\right)^m-1$$ Y,
$$j\left(m\right)=\left(\left(1+TAE\right)^{\frac{1}{m}}-1\right)\cdot m$$
Donde,
$TAE$, es tasa anual equivalente.
$J(m)$, es el tipo de interés nominal.
$i_m$, es el tipo de interés efectivo de frecuencia $m$.
$m$, es la frecuencia con la que se efectúa pago de los intereses.
Ejerccio 1:. Calcular la Tasa Anual Equivalente (TAE) de un depósito que ofrece el 4,75% de interés anual con abono de intereses trimestrales.
a. 4,84%.
b. 4,78%.
c. 4,67%.
d. 4,92%.
La respuesta correcta es la a. $$TAE=\left(\frac{0,0475}{4}\right)^4-1=0,04835(4,84\%)$$
Ejercicio 2: La TAE de una operación sin comisiones que rinde un 4% nominal, acumulable trimestralmente es:
a) 4%.
b) 1%.
c) 4,074%.
d) 4,06%.
La respuesta correcta es la d. Nos dan un tipo nominal trimestal, esto es un $j(4)$, que tenemos que convertir en un tipo efectivo trimestral $i_4$ con la siguiente fórmula: $$i_m=\frac{j\left(m\right)}{m}=\frac{j\left(4\right)}{4}=\frac{0.04}{4}=0.1$$
Ahora planteamos una TAE sin comisiones, $$\left(1+TAE\right)=\left(1+i_m\right)^m$$
Que en nuestro caso, una vez despejada la TAE sería, $$TAE=\left(1+i_4\right)^4-1$$
Sustituimos y calculamos, $$TAE=\left(1+0.1\right)^4-1=0.0406(4.06\%)$$
Pregunta 3: Una imposición a plazo fijo a 6 meses ofrece un interés del 4,25% anual con pago mensual de intereses. Si no hay comisiones, la TAE de este producto será:
a) No puede existir la TAE en un producto cuyo vencimiento sea inferior a 1 año.
b) 4,295%.
c) 4,326%.
d) 4,334%.
La respuesta correcta es la d. En primer lugar tenemos que calcular el tipo efectivo mensual a partir del tipo nominal anual que nos dan: $$i_m=\frac{j\left(m\right)}{m}=\frac{j\left(12\right)}{12}=\frac{0.0425}{12}=0.003542$$
En segundo lugar planteamos una TAE (esta será siempre anual): $$(1+TAE)=(1+i_{12})^{12}$$
Despejamos, $$TAE=\left[(1+i_{12})^{12}\right]-1$$
Sustituimos y calculamos, $$TAE=\left[(1+ 0.003542)^{12}\right]-1=0.04334(4.334\%)$$
Pregunta 4 Un cliente solicita un préstamo personal por dos años y se le ofrece un interés anual del 7.5% capitalizable mensualmente. El préstamo se cancelará con un solo pago al vencimiento. Si la comisión de apertura es del 0.5%, la TAE de la operación es:
a) 8.03%.
b) 8.00%.
c) 8.07%.
d) No se puede calcular sin conocer el importe del préstamo.
La respuesta correcta es la a. En primer lugar vamos a calcular el tipo efectivo mensual a partir del dato que nos dan que es un tipo nominal mensual: $$i_{12}=\frac{j\left(12\right)}{12}=\frac{0.075}{12}=0.00625$$
Ahora lo convertimos en un tipo efectivo anual, a partir de la siguiente equivalencia de tantos, $$\left(1+i\right)=\left(1+i_{12}\right)^{12}$$
Despejamos $i$, $$i=\left(1+i_{12}\right)^{12}-1$$
Sustituimos los valores y calculamos, $$i=\left(1+0.00625\right)^{12}-1=0.0776326$$
Ahora planteamos la equivalencia financiera donde, una inversión, (por ejemplo) de 1.000 euros, a un tipo efectivo anual equivalente a un tipo nominal anual del 7,5%, tiene que ser igual a una inversión de 1.000 euros menos la comisión de apertura de un 0,5%; esto es: $$1000\left(1+0.0776326\right)=\left[\left(1000\left(1-0.005\right)\right)\left(1+TAE\right)\right]$$
Despejamos la TAE y calculamos, $$TAE=\left[\frac{1000\left(1+0.0776326\right) }{ \left(1000\left(1-0.005\right)\right)}\right]-1=0.0083(8.3\%)$$
Pregunta 5: Un inversor deposita 5.000 euros durante 600 días en un novedoso instrumento financiero que ofrece un 3% anual. La entidad cobran un 1% de comisión sobre el valor final en el momento de la cancelación. Asimismo aplica una base de 360 días para el cálculo de los intereses. ¿Cuál será la TAE de esta operación?:
a. 2,4142%.
b. 2,4241%.
c. 4,2142%.
d. Ninguna de las anteriores
La respuesta correcta es la a. En primer lugar calculamos el valor final de la operación: $$V_f=C_0\cdot\left(1+i\right)^n$$ Que al sustituir y calcular tenemos, $$V_f=5000\cdot(1+0.03)^{\frac{600}{360}}=5252.4917$$ Ahora calculamos lo que efectivamente será el valor final (lo que recibirá el inversor), ya que en la fecha de cancelación le van a cobrar un 1% sobre el valor final de la comisión de cancelación: $$V_{F*}=5252.4917\cdot\left(1-0.01\right)=5199.9668$$ Finalmente ya podemos calcular la TAE: $$5000\left(1+TAE\right)^{\left(\frac{600}{360}\right)}=5199.9668$$
De donde, al despejar la TAE y calcular tenemos: $$TAE=\frac{5199.9668 }{5000 }^ \frac{600}{365}-1=0.02414(2.4142\%)$$
Pregunta 6: En un préstamo hipotecario sin comisión de apertura, que cobra una comisión de cancelación del 0,5% y cuya Tasa de Interés Nominal es del 7,5% liquidable mensualmente, la Tasa Anual Equivalente será del:
a. 7,254%
b. 7,5%
c. 7,763%
d. 7,64%
La respuesta correcta es la c. La tasa de interés nominal liquidable mensualmente es del 7,5%, luego $j_{12}=7,5\%$. Para hallar la TAE equivalente podemos plantear la seguiente equivalencia financiera: $$i = (1 + \frac{j_{12}}{12} )^{12}-1 = (1 + \frac{0,075}{12})^{12}-1 = 0,07763\approx 7,763\%$$
Con la calculadora Casio FC 200/100V: Función: CNVR n = 12 I% = 7,5 EFF = “SOLVE” => 7,763% = TAE
Pregunta 7: Una entidad financiera ofrece un producto de inversión a 36 meses que paga únicamente en especie en el momento de contratar la operación. En este caso se trata de un iPAD. El importe del depósito debe ser de 13.000 € y el TAE anunciado es el 2,04%. Calcule en cuánto está valorado el iPAD.
a. 263,9 €
b. 764,21 €
c. 811,94 €
d. Ninguna de las anteriores.
La respuesta correcta es la b. Llamamos x al valor del iPad y planteamos una equivalencia financiera en t = 36 meses y resolvemos por x: $$13.000=\left(13.000-x\right)\cdot\left(1+0,0204\right)^{\frac{36}{12}}\Longleftrightarrow x=764,21$$
Alternativamente, podemos llegar al mismo resultado con el siguiente planteamiento: $$C_n=13.000;\ 13.000=C_0\cdot (1+0.0204)^{3}\Longleftrightarrow C_0=12235,789$$ y por diferencia entre, $$Importe_{iPad}=C_n-C_0=764,21$$
luego, el iPAD estará valorado en 764,21 euros.
Pregunta 8: Usted deposita 100€ para un plazo de 4 años y 9 meses. El depósito anuncia un TAE del 12%. ¿Cuánto recibe de saldo pasado el plazo?
a. 171.31€
b. 171.51€
c. 180€
d. Ninguna de las anteriores
La respuesta correcta es la a.
Pregunta 9: Calcule el coste que tiene financiar en unos grandes almacenes una compra de 6.000€, si permiten realizar el pago aplazado dentro de tres meses al 0% de interés. Sin embargo, los gastos de iniciar este tipo de financiación son el 1% del importe comprado.
a. 0% TAE
b. 4,10% TAE
c. No se puede calcular sin ordenador.
d. 1,01% TAE
La respuesta correcta es la b. En este caso tenemos que anualizar el tipo de interés (trimestral al que se realiza la operación), teniendo en cuenta las comisiones. En otras palabras, tenemos que plantearnos una equivalencia financiera en la cual, lo efectivamente entregado ha de ser necesariamente igual a lo efectivamente recibido. Matemáticamente nos planteamos un valor actual en capitalización compuesta: $$V_0=\frac{V_n}{(1+TAE)^n}$$
Donde, $v_0 = 6.000\cdot (1-0,01)=5.940$ $v_n = 6.000$ $n = \frac{3}{12}$ $TAE=\textbf{¿?}$ Por lo que, si despejamos TAE, $$TAE=\left[\frac{V_n}{V_0}\right]^{n}-1$$ Sustituimos y calculamos, $$TAE=\left[\frac{6.000}{5.940}\right]^{\frac {12} {3}}-1=0,041(4,1\%)$$
Pregunta 10: Si anualizamos la TIR obtenemos:
a. La tasa de descuento del proyecto.
b. La TAE.
c. La rentabilidad libre de riesgo del proyecto.
d. Ninguna de las respuestas es correcta.
La respuesta correcta es la B. La TAE (Tasa anual equivalente) es un concepto legal, y es el banco de España el que obliga a las entidades de crédito a calcular la TAE, y es lo que nos permite comparar el coste de una financiación entre diversas entidades, plazos, etc… en teoría la TAE es algo parecido a la TIR, pero anualizado.