Con el dinero hay dos tipos de movimientos que se puede hacer en el tiempo: capitalizar (ponerlo en términos futuros) o descontarlo (traerlo al presente). En función de si consideramos que los intereses generan más intereses hablamos de interés simple (no los generan) o compuesto (sí lo hacen).
Capitalización Compuesta
El descuento compuesto se define como la operación inversa a la capitalización compuesta. Los intereses son productivos, lo que significa que a medida que se generan se restan del capital de partida para producir (y restar) nuevos intereses en el futuro y, por tanto, los intereses de cualquier período siempre los genera el capital del período anterior, al tipo de interés vigente en dicho período.
Siendo su fórmula:
$$C_f=C_0\cdot(1+i)^n$$
Donde,
$C_f$, es el capital final.
$C_0$, es el capital inicial.
$i$, es el tipo de interés.
$n$, es el tiempo transcurrido.
Pregunta 1: Un producto financiero ofrece un 4,6% anual nominal con pago semestral de intereses. Sabiendo que un inversor coloca un capital inicial de 7.000 euros, a los 2,5 años obtendrá un capital final en euros igual a:
a) 7.921,32 euros.
b) 7.832,98 euros.
c) 7.842,89 euros.
d) 7.427,59 euros.
1º Identificamos que se trata de obtener el valor final de un capital inicial, en capitalización compuesta (periodo > 1 año). Por lo que tenemos que aplicar la siguiente fórmula: $$C_n=C_0\cdot(1+i)^n$$ 2º En este caso me dan un tipo de interés nominal capitalizable semestralmente, es decir $j(m) = j(2) = 0.046$ que es necesario dividirlo entre la frecuencia $m = 2$ para obtener el tipo efectivo correspondiente, esto es $i _2$. Como se deduce de la siguiente expresión: $$i_m=\frac{j _{(m)}}{m}$$ Sustituimos y obtenemos el tipo efectivo semestral, $$i_2=\frac{0.046}{2}= 0.023 (2.3\%)$$ Una vez que tenemos este dato ya podemos calcular el valor final, $$C_{ 2.5}=7000\cdot { (1+0.023) }^{(2.5\cdot 2) = 5} = 7842.89$$ Como habrás podido notar, hemos realizado el cálculo del valor final con el tipo de interés efectivo semestral, pero podriamos haberlo calculado también con el tipo de interés efectivo anual. Para hacerlo de esta manera, una vez calculado el tipo efectivo semestral $i_2=0.023 (2.3\%)$, aplicamos la equivalencia de tantos en capitalización compuesta: $$(1+i)=(1+ i _m)^m$$ Donde, sustituyendo y despejando tenemos, $$i=(1+ 0.023)^{2}-1= 0.46529$$ Y aplicando $i$ en la fórmula obtenemos el mismo valor final, $$C_{ 2.5}=7000\cdot { (1+0.046529) }^{(2.5)} = 7842.89$$
Por lo que, si el inversor coloca un capital inicial de 7.000 euros, a los dos años y medio obtendrá un capital final de 7.842,89 euros.
Pregunta2: Nos ofrecen la siguiente oferta para un depósito en un banco:
| Tipo interés compuesto el primer año: 3,5% |
| Tipo interés compuesto el segundo año: 2,5% |
Nosotros queremos obtener 22.000 euros dentro de 2 años. ¿Cuánto tenemos que invertir hoy para que esto suceda?
a) 21,567.57 euros
b) 20,578.92 euros
c) 21,576.52 euros
d) 20,737.60 euros
En este caso, planteamos el valor final de un capital con el método de capitalización compuesta ya que estamos considerrando un periodo de madurez de la inversión superior al año. Pero, ojo que tenemos tipos distintos para cada uno de los años, $$V_f=C_0\cdot\left(1+i_1\right)^n\cdot\left(1+i_2\right)^n$$ Sustituimos los valores, $$22000=C_0\cdot\left(1+0.035\right)^1\cdot\left(1+0.025\right)^1$$ Finalmente resolvemos la ecuación por $C_0$ (capital inicial) y calculamos, $$C_0=\frac{22000}{\left[\left(1+0.035\right)^1\cdot\left(1+0.025\right)^1\right]}=20737.60$$
Tenemos que invertir hoy 20.737,60 euros.
Pregunta 3: Si hemos conseguido 1.350 euros de capital final en régimen de capitalización compuesta, invirtiendo a un plazo de 3,5 años, a un tipo de interés compuesto anual del 3,25%, ¿Cuál es el capital que hemos invertido al inicio de la operación?
a) 1.205,85 euros
b) 1.230,07 euros
c) 1.207,03 euros
d) Ninguna de las anteriores
Planteamos el valor final de un capital con el método de capitalización compuesta, ya que consideramos un periodo de madurez de la inversión superior al año. En este caso, tenemos los mismos tipos de interés
para todo el plazo de la inversión, $$V_f=C_0\cdot\left(1+i\right)^n$$ Sustituimos los valores, $$1350=C_0\cdot\left(1+0.0325^{3,5}\right)$$ Despejamos $C_0$ (capital inicial) y calculamos su valor, $$C_0=\frac{1350}{\left(1+0.0325\right)^{3.5}}=1207.03$$ Por lo que, el capital inicial invertido en la operación asciende a 1.207,03 euros.
Pregunta 4: Se realiza el depósito de 10.000€ durante 10 años. Devenga y acumula intereses semestralmente, a una tasa nominal del 4%. El capital final acumulado es:
a. 13.589,74€
b. 14.677,47€
c. 14.859,47€
d. 13.859,74€
CALCULADORA FC-100V/200V Modo: CMPD Set: Begin/End (Pagos al inicio o al final del periodo) n: 20 (Número de periodos) I%: 4 (Tipo de interés nominal) PV: 10.000 (Valor presente o principal) PMT: 0 (Importe de los pagos periódicos) FV: (Valor futuro) P/Y: 1 (Número de pagos anuales) C/Y: 2 (Número de periodos dentro de un año) Cálculo: Podemos calcular n, I, PV, PMT o FV con el SOLVE, dando los otros datos
Pregunta 5: Qué diferencia en euros se obtiene al invertir un capital de 12.000 euros a tres años con un tipo de interés del 4% anual con los métodos de capitalización simple y capitalización compuesta.
a) 48,56 euros
b) 59,48 euros
c) 54,39 euros
d) 58,37 euros
En primer lugar calculamos el valor final del capital con el método capitalización simple, $$V_f=C_0\cdot\left(1+i\cdot n\right)$$ $$C_{f1}=12000\cdot\left(1+0.04 \cdot 3\right)=13440$$ En segundo lugar calculamos el valor final del capital con el método capitalización compuesta, $$C_{f}=C_0\cdot\left(1+i\right)^n$$ $$C_{f2}=12000\cdot\left(1+0.04\right)^3=13498.368$$ Finalmente, calculamos la diferencia entre el capital en 1 y el capital en 2: $$Dif.=13498.368-13440=58.368$$ Alternativamente se puede llegar a la solución de la forma siguiente, $$12000\cdot\left[\left(1+0.04\right)^3-\left(1+0.04\cdot3\right)\right]=58.368$$ Luego, la diferencia monetaria que se obtendría utilizando los métodos de capitalización simple y capitalización compuesta sería de 58,368 euros, siendo más rentable la capitalización compuesta frente a la capitalización simple.