Laboratorio financiero · 01
Frontera eficiente
Observa cómo cambian el riesgo, la rentabilidad esperada y la composición de una cartera cuando combinamos activos arriesgados que no se comportan exactamente igual.
La idea, en una frase
Una cartera situada en la frontera eficiente ofrece, para un determinado nivel de rentabilidad esperada, el menor riesgo que permite el modelo. No busca el activo que más gana ni el que menos oscila: estudia qué puede aportar su combinación.
El cambio de perspectiva de Markowitz
En su artículo Portfolio Selection, Markowitz (1952) formalizó un cambio decisivo: el riesgo de una cartera no depende solo del riesgo de cada activo, sino también de cómo se mueven unos activos respecto de otros. Su contribución a la teoría de selección de carteras fue reconocida en 1990 con el Premio del Banco de Suecia en Ciencias Económicas en memoria de Alfred Nobel (The Royal Swedish Academy of Sciences, 1990).
Esa es la idea que este laboratorio permite experimentar. No basta con elegir activos considerados atractivos de forma aislada; hay que observar qué ocurre cuando conviven dentro de una misma cartera.
Para construir el ejemplo, el modelo describe cada activo mediante dos datos referidos a un mismo periodo hipotético:
- Rentabilidad esperada: una estimación de lo que podría rendir, no una promesa.
- Volatilidad: cuánto pueden separarse los resultados de esa expectativa. En este laboratorio la utilizamos como medida de riesgo.
La diversificación aparece cuando los activos no se comportan exactamente igual al mismo tiempo. La correlación1 resume hasta qué punto sus movimientos coinciden: cuando no lo hacen por completo, las oscilaciones de unos pueden compensar parcialmente las de otros. Por eso una combinación puede llegar a tener menos riesgo que sus componentes considerados por separado.
Cómo utilizar el laboratorio
1
Elige una meta
Mueve la rentabilidad objetivo. Estás preguntando qué combinación alcanzaría esa expectativa con el menor riesgo estimado.
2
Observa la combinación
La tabla muestra el peso que el modelo asigna a cada activo. Comprueba cómo cambia al desplazar el objetivo.
3
Interpreta el intercambio
El punto dorado se mueve por la frontera. A partir de la cartera de mínima varianza, exigir más rentabilidad implica aceptar más volatilidad.
Para empezar: deja activada la restricción que excluye las ventas en corto. Mueve lentamente el control hacia la derecha y observa cómo se redistribuye la cartera.
Tres ideas que muestra el gráfico
- El punto de partida. La frontera comienza en la cartera que logra el menor riesgo posible con los activos y restricciones del ejemplo.
- El precio de exigir más. Al elevar la rentabilidad objetivo, el punto dorado avanza hacia arriba y hacia la derecha: cambia la composición y aumenta la volatilidad estimada.
- La mejora que puede aportar la diversificación. Al combinar activos cuyos movimientos no coinciden por completo, aparecen carteras con una relación entre rentabilidad esperada y riesgo más favorable que la de los activos considerados por separado. La combinación depende, por tanto, no solo de cada activo, sino también de cómo se relaciona con los demás.
Cómo leer el gráfico
- Eje horizontal — volatilidad: cuanto más a la derecha, mayor es el riesgo estimado.
- Eje vertical — rentabilidad esperada: cuanto más arriba, mayor es la rentabilidad que se exige a la cartera.
- Puntos azules: representan los tres activos por separado.
- Línea dorada: muestra el tramo eficiente de las carteras de mínima varianza.
- Línea gris discontinua: muestra el tramo no eficiente de la curva de mínima varianza.
- Punto dorado: representa la cartera seleccionada mediante el control deslizante.
La frontera comienza en la cartera global de mínima varianza, la combinación con menor volatilidad de todas las admitidas. Por debajo aparece un tramo discontinuo de combinaciones posibles pero no eficientes: para un riesgo equivalente, existe otra cartera con una rentabilidad esperada superior. El control deslizante recorre únicamente el tramo eficiente.
La frontera no identifica una cartera universalmente «mejor». Solo describe el intercambio entre riesgo y rentabilidad dentro de los supuestos del ejemplo.
Qué hace el modelo por dentro
Para cada objetivo, el modelo busca una combinación que cumpla tres condiciones:
- Los pesos suman el 100 % del capital.
- La cartera alcanza la rentabilidad esperada seleccionada.
- Entre las combinaciones que cumplen lo anterior, conserva la de menor varianza y, por tanto, menor volatilidad.
La formulación presentada por Markowitz en 1952 excluía las ventas en corto: ninguna ponderación podía ser negativa. Por eso el laboratorio mantiene marcada inicialmente la opción excluir ventas en corto. Al desmarcarla, admite ponderaciones negativas2 y permite comprobar, como extensión teórica, cómo cambia el conjunto de posibilidades. No constituye una indicación de que estas operaciones sean adecuadas para cualquier persona.
Ver la formulación matemática
Si \(w\) es el vector de pesos, \(E\) el vector de rentabilidades esperadas y \(V\) la matriz de varianzas y covarianzas, el problema es:
\[ \min_w \; w'Vw \]
sujeto a:
\[ w'E=r^*, \qquad \sum_i w_i=1 \]
Si no se permiten posiciones cortas, se añade \(w_i\geq0\). La varianza es \(w'Vw\) y la volatilidad es su raíz cuadrada.
Un mapa, no una predicción
El ejercicio permite visualizar la relación entre diversificación, movimientos conjuntos, riesgo y rentabilidad. Sin embargo, una optimización no elimina la incertidumbre:
- las rentabilidades esperadas son estimaciones;
- las volatilidades y correlaciones pueden cambiar;
- pequeñas variaciones en los datos pueden alterar los pesos;
- el modelo no incorpora impuestos, costes, liquidez ni circunstancias personales.
La frontera eficiente ordena las alternativas que admite el modelo, pero no decide qué cartera conviene a una persona. Debe entenderse como un mapa construido bajo ciertos supuestos, no como una predicción ni como una recomendación automática.
Este laboratorio utiliza tres activos ficticios. Las rentabilidades y las medidas de riesgo están expresadas para un mismo horizonte temporal y tienen una finalidad exclusivamente docente; el laboratorio no constituye asesoramiento ni una recomendación de inversión.
Continuar el recorrido
Markowitz permite ordenar las combinaciones de activos arriesgados. La siguiente pregunta es qué cambia cuando añadimos una alternativa sin riesgo y podemos repartir el capital entre ella y una cartera eficiente.
Continuar con el activo libre de riesgo y la cartera tangente
Referencias
Notas
Puede entenderse como un indicador del potencial de diversificación entre dos activos: cuanto menos coinciden sus movimientos, mayor puede ser la compensación entre ellos. No mide, por sí sola, toda la diversificación de una cartera y puede cambiar con el tiempo.↩︎
Una ponderación negativa representa una posición corta, normalmente originada mediante la venta de un activo tomado en préstamo. Como los pesos siguen sumando el 100 %, la posición corta permite que las posiciones positivas superen conjuntamente el capital propio y genera apalancamiento. Este amplifica los resultados: las pérdidas pueden superar el capital aportado y, en una venta corta directa, son potencialmente ilimitadas.↩︎