Laboratorio financiero · 02
Activo libre de riesgo y cartera tangente
Observa cómo cambia el conjunto de posibilidades cuando combinamos una cartera eficiente de activos arriesgados con un activo libre de riesgo.
La pregunta que dejó Markowitz
El primer laboratorio mostró cómo construir la frontera eficiente con activos arriesgados. Pero ¿qué ocurre si, además, podemos conservar una parte del capital en un activo cuya rentabilidad conocemos de antemano dentro del modelo?
La respuesta transforma el problema. Ya no elegimos directamente entre muchas carteras eficientes: primero identificamos una cartera concreta de activos arriesgados y después decidimos cuánto combinarla con el activo libre de riesgo.
El paso de Markowitz a Tobin
Tobin (1958) mostró que, bajo determinados supuestos, la decisión puede separarse en dos etapas: elegir la combinación de activos arriesgados y decidir después cómo repartir el capital entre esa combinación y el activo libre de riesgo. Esta idea se conoce como separación de Tobin.
La combinación arriesgada relevante es la cartera tangente, que denotaremos por \(T\). No viene dada de antemano: es el resultado de optimizar las carteras de la frontera eficiente para encontrar la que ofrece la mayor rentabilidad esperada adicional por unidad de volatilidad. Geométricamente, es el punto en el que la recta trazada desde el activo libre de riesgo toca la frontera; de ahí su nombre.
En esta etapa hablamos de \(T\), no todavía de la cartera de mercado \(M\).
Del supuesto teórico a una referencia observable. En el modelo, el activo libre de riesgo ofrece una rentabilidad conocida durante el periodo analizado; por eso su varianza y su covarianza con los activos arriesgados son cero. Su rentabilidad no tiene que ser positiva. En la práctica se aproxima mediante una referencia de elevada calidad crediticia, coherente con la moneda y el horizonte del análisis.1
Cómo utilizar el laboratorio
1
Parte de la tangencia
Localiza dónde la recta dorada toca la frontera. Ese punto representa la cartera tangente de activos arriesgados.
2
Reparte el capital
Mueve el porcentaje asignado a la cartera tangente. El resto se mantiene en el activo libre de riesgo.
3
Cruza el 100 %
Por encima del 100 %, el modelo supone endeudamiento al tipo libre de riesgo para aumentar la exposición a la cartera tangente.
Tres ideas que muestra el gráfico
- La tangencia selecciona una cartera arriesgada. La pendiente de la recta es máxima en el punto en que toca la frontera eficiente.
- La preferencia por el riesgo cambia la mezcla, no la cartera tangente. En el modelo, una persona más prudente mantiene una mayor proporción en el activo libre de riesgo; otra acepta una exposición mayor a la misma cartera arriesgada.
- Más allá del 100 % aparece endeudamiento. En lugar de mantener capital en el activo libre de riesgo, el modelo supone que se toma dinero prestado al mismo tipo \(r_f\) para aumentar la inversión en la cartera tangente. Esto amplifica tanto la rentabilidad esperada como la volatilidad y depende de supuestos especialmente exigentes.
Cómo leer la recta
- Punto azul: representa el activo libre de riesgo.
- Curva gris: conserva la frontera eficiente del laboratorio anterior.
- Punto de tangencia: identifica la cartera arriesgada con la mayor pendiente desde el activo libre de riesgo.
- Tramo dorado continuo: combina capital propio entre el activo libre de riesgo y la cartera tangente.
- Tramo dorado discontinuo: prolonga la recta suponiendo endeudamiento al mismo tipo libre de riesgo.
- Punto dorado: muestra la asignación seleccionada.
Ese apalancamiento amplifica los resultados. En una operación real puede provocar pérdidas superiores al capital aportado y exigir garantías o aportaciones adicionales; el laboratorio solo representa su lógica financiera básica.
Qué permanece constante
Al mover el control cambian la rentabilidad esperada y la volatilidad, pero no la composición interna de la cartera tangente. También permanece constante su relación entre exceso de rentabilidad esperada y volatilidad: la pendiente de la recta.
Esto no significa que exista una combinación universalmente adecuada. El modelo separa dos decisiones; no determina cuánto riesgo puede o debe asumir una persona.
Qué simplifica —y qué permanece por calcular
La separación de Tobin simplifica la decisión final: una vez construida la cartera tangente \(T\), cada asignación se describe con solo dos pesos, \(w_T\) y \(w_f=1-w_T\). Ya no es necesario elegir de nuevo una combinación distinta de activos arriesgados para cada nivel de riesgo.
Sin embargo, Tobin no elimina el trabajo previo de Markowitz. Para obtener \(T\) todavía se necesitan las rentabilidades esperadas y la matriz de varianzas y covarianzas de los \(N\) activos arriesgados. Esa matriz es de dimensión \(N\times N\) y contiene \(N(N-1)/2\) covarianzas distintas, además de las \(N\) varianzas.
En una época en la que estimar y procesar toda esa información tenía un coste especialmente elevado, este seguía siendo un obstáculo práctico. Sharpe propuso en 1963 relacionar cada activo con un único índice común, reduciendo de forma muy notable el número de parámetros necesarios (Sharpe, 1963).
Ver la formulación matemática
Siguiendo la notación del laboratorio anterior, sea \(w_T\) el peso asignado a la cartera tangente y \(w_f=1-w_T\) el peso del activo libre de riesgo. Si \(r_f\) es la rentabilidad del activo libre de riesgo y \(R_T\) la rentabilidad de la cartera tangente:
\[ R_C=w_fr_f+w_TR_T=(1-w_T)r_f+w_TR_T \]
Por tanto:
\[ E(R_C)=r_f+w_T\left[E(R_T)-r_f\right], \qquad \sigma_C=w_T\sigma_T \]
Cuando \(0\leq w_T\leq1\), una parte del capital permanece en el activo libre de riesgo. Si \(w_T>1\), el peso \(w_f=1-w_T\) es negativo y representa endeudamiento dentro del modelo.
Supuestos que sostienen el resultado
La claridad de la recta depende de condiciones fuertes:
- existe una rentabilidad libre de riesgo conocida para el periodo;
- se puede prestar y pedir prestado al mismo tipo;
- no hay impuestos, costes de transacción ni restricciones adicionales;
- las rentabilidades esperadas, varianzas y covarianzas son conocidas y estables;
- el análisis utiliza la volatilidad como medida de riesgo.
Si cambian estos supuestos, pueden cambiar la tangencia, la recta y las conclusiones. El ejercicio explica una estructura teórica; no reproduce todas las condiciones de una decisión real.
El laboratorio utiliza los mismos tres activos ficticios de la pieza anterior para construir la cartera tangente y añade una rentabilidad libre de riesgo hipotética. Las rentabilidades y las medidas de riesgo están expresadas para un mismo horizonte temporal y tienen una finalidad exclusivamente docente; el laboratorio no constituye asesoramiento ni una recomendación de inversión.
Continuar el recorrido
Tobin separa la elección de la cartera arriesgada y la asignación entre riesgo y seguridad. El siguiente laboratorio retomará la simplificación de Sharpe y mostrará qué información sustituye a la matriz completa. Más adelante, el CAPM introducirá el equilibrio de mercado y permitirá explicar bajo qué supuestos la cartera tangente común se identifica con la cartera de mercado \(M\) (Sharpe, 1964).
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Referencias
Notas
En sentido matemático estricto, la correlación queda indeterminada —no es cero— porque la desviación típica del activo es nula. Para plazos cortos pueden utilizarse tipos overnight o letras del Tesoro; para horizontes largos, tipos soberanos cupón cero o de duración semejante a la de los flujos. En Estados Unidos, las Treasury bills vencen hasta un año y las Treasury notes entre dos y diez años; en euros, el BCE publica una curva de deuda pública AAA y el Bund alemán se utiliza con frecuencia como referencia (European Central Bank, s. f.; U.S. Department of the Treasury, s. f.). El plazo de diez años es una convención habitual en valoraciones de largo plazo, no una regla teórica: un bono con cupón conserva riesgo de precio antes de su vencimiento y riesgo de reinversión (Damodaran, s. f.).↩︎