Laboratorio financiero · 04
CAPM, beta y cartera de mercado
Observa cómo una teoría de equilibrio transforma la beta en una relación entre riesgo sistemático y rentabilidad esperada.
La pregunta que dejó el modelo de índice único
El laboratorio anterior utilizó beta para reconstruir covarianzas a partir de un índice común. Era una simplificación estadística: explicaba cómo podían relacionarse los activos, pero no por qué debían ofrecer una rentabilidad esperada determinada.
El modelo de valoración de activos financieros o CAPM plantea una pregunta distinta: si todos los inversores optimizan carteras bajo unos mismos supuestos y los mercados están en equilibrio, ¿qué rentabilidad esperada debe corresponder a cada nivel de riesgo no diversificable?
De la cartera tangente a la cartera de mercado
La separación de Tobin había mostrado que cada inversor podía combinar el activo libre de riesgo con una cartera tangente \(T\) (Tobin, 1958). Sharpe (1964) añadió supuestos de equilibrio especialmente exigentes: los inversores comparten las mismas expectativas, pueden prestar y endeudarse al mismo tipo \(r_f\), operan sin impuestos ni costes y eligen carteras mediante media y varianza.
Si todos identifican la misma cartera tangente, todos desean mantener la misma composición de activos arriesgados. Pero, sumadas todas las posiciones, alguien debe poseer el conjunto de activos existentes. Para que la demanda coincida con la oferta, esa cartera arriesgada común debe ser la cartera de mercado, que denotamos por \(M\). En el equilibrio del CAPM:
\[ T=M \]
Esta igualdad es una conclusión del modelo bajo sus supuestos, no una identidad general. Fuera de ese marco, una cartera tangente estimada no tiene por qué coincidir con una cartera de mercado observable.
Las dos rectas asociadas al CAPM
El equilibrio del CAPM suele presentarse mediante dos relaciones complementarias. No utilizan la misma medida de riesgo ni se aplican al mismo conjunto de inversiones.
La línea del mercado de capitales o CML describe exclusivamente las carteras eficientes que combinan el activo libre de riesgo y la cartera de mercado \(M\):
\[ E(R_P)=r_f+\frac{E(R_M)-r_f}{\sigma_M}\sigma_P \]
Su eje horizontal es la volatilidad total \(\sigma_P\) y su pendiente mide la prima esperada de mercado por unidad de volatilidad. Es la recta de asignación del capital estudiada en el Laboratorio 02, con una diferencia decisiva: allí se construía desde la cartera tangente \(T\); el CAPM añade el equilibrio y establece \(T=M\).
La pendiente y el ratio de Sharpe. La pendiente de la CML,
\[ \frac{E(R_M)-r_f}{\sigma_M}, \]
es el ratio de Sharpe ex ante de la cartera de mercado: la prima esperada por cada unidad de volatilidad total. Su versión histórica utiliza la rentabilidad excedente media observada y la volatilidad observada, y se emplea como medida de desempeño ajustado por riesgo (Sharpe, 1966). Un valor mayor indica más rentabilidad excedente por unidad de volatilidad, siempre que se comparen periodos, frecuencias y tipos libres de riesgo coherentes. No demuestra por sí solo habilidad de gestión y puede resultar engañoso cuando las rentabilidades son asimétricas, presentan pérdidas extremas o la volatilidad no resume adecuadamente el riesgo.
La línea del mercado de valores o SML relaciona la rentabilidad esperada de cualquier activo o cartera con su beta:
\[ E(R_i)=r_f+\beta_i\left[E(R_M)-r_f\right] \]
Su eje horizontal es \(\beta_i\) y su pendiente es la prima esperada del mercado. A diferencia de la CML, puede aplicarse dentro del modelo a activos y carteras que no sean eficientes.
| CML | SML | |
|---|---|---|
| Riesgo representado | Volatilidad total | Beta respecto de \(M\) |
| Se aplica a | Carteras eficientes | Cualquier activo o cartera |
| Pendiente | Prima por unidad de volatilidad | Prima esperada del mercado |
| Conecta con | Tobin y la cartera tangente | Modelo de índice único y beta |
La interacción siguiente representa la SML. La CML no se dibuja de nuevo porque su geometría ya puede explorarse en el Laboratorio 02.
Cómo utilizar el laboratorio
1
Cambia la beta
Mueve la sensibilidad del activo a \(M\). El punto avanza por la línea del mercado de valores.
2
Añade riesgo residual
Observa cómo aumenta el riesgo total sin cambiar la rentabilidad que predice el CAPM.
3
Compara con el mercado
\(M\) tiene beta uno. El activo libre de riesgo tiene beta cero dentro del modelo.
Para empezar: mantén la volatilidad residual en cero y recorre la beta desde 0 hasta 2. Después conserva la beta y eleva solo el riesgo residual.
La relación central
El CAPM expresa la rentabilidad esperada del activo \(i\) como:
\[ E(R_i)=r_f+\beta_i\left[E(R_M)-r_f\right] \]
La diferencia \(E(R_M)-r_f\) es la prima de riesgo esperada del mercado. La beta determina qué proporción de esa prima corresponde al activo dentro del modelo:
- si \(\beta_i=0\), la rentabilidad esperada es \(r_f\);
- si \(\beta_i=1\), coincide con la rentabilidad esperada de \(M\);
- si \(\beta_i>1\), el activo amplifica los movimientos del mercado y exige una prima mayor;
- una beta negativa implicaría una relación inversa con \(M\) y una rentabilidad esperada inferior a \(r_f\) en este marco.
La recta que relaciona beta y rentabilidad esperada es la línea del mercado de valores. La interacción permite recorrer esta segunda representación del CAPM sin repetir la CML del Laboratorio 02.
Por qué el riesgo residual no recibe prima
El modelo de índice único separó el riesgo en un componente común y otro residual. El CAPM sostiene que un inversor ampliamente diversificado puede reducir el segundo combinando muchos activos cuyos residuos no estén correlacionados. El mercado no tiene que compensar un riesgo que puede eliminarse sin renunciar a rentabilidad esperada.
Por eso la interacción mantiene fija la rentabilidad esperada cuando aumenta la volatilidad residual. El riesgo total sí crece, pero la beta no cambia. En el CAPM solo el riesgo sistemático —la contribución del activo al riesgo de \(M\)— recibe una prima esperada.
Beta y volatilidad atribuible al mercado están relacionadas, pero no son la misma magnitud. Beta mide la sensibilidad relativa del activo: no tiene unidades. Al multiplicar su valor absoluto por la volatilidad de \(M\) obtenemos \(|\beta_i|\sigma_M\), la parte de la volatilidad del activo atribuible a su exposición al mercado. El CAPM determina la rentabilidad esperada mediante beta, no directamente mediante esa volatilidad.
Cómo disminuye el riesgo diversificable
El gráfico siguiente aísla la intuición con un ejemplo muy simplificado. Supone una cartera equiponderada, una exposición al mercado estable, residuos con la misma varianza y ausencia de correlación entre ellos. Bajo esas condiciones:
\[ \operatorname{Var}(R_P)=\beta_P^2\sigma_M^2+\frac{\sigma_\varepsilon^2}{N} \]
Al aumentar \(N\), el segundo término disminuye y la volatilidad total se aproxima a una asíntota: la volatilidad atribuible al mercado. Los primeros activos producen la mayor reducción marginal; añadir más continúa reduciendo el residuo, pero cada vez menos.
Diversificación naïve: repartir sin optimizar. No existe un único autor al que pueda atribuirse la regla equiponderada. Markowitz (1952) formalizó la diversificación mediante medias, varianzas y covarianzas; la expresión estrategia \(1/N\) quedó especialmente asociada al estudio de Benartzi & Thaler (2001), que documentó cómo algunos partícipes distribuían por igual sus aportaciones entre las opciones disponibles. Más tarde, DeMiguel et al. (2009) la utilizaron como referencia frente a estrategias optimizadas y mostraron que el error de estimación y la rotación podían consumir, fuera de muestra, las ventajas teóricas de modelos más complejos.
La regla evita estimar rentabilidades y covarianzas y puede reducir el riesgo residual, pero contar posiciones no equivale a diversificar fuentes de riesgo. Una cartera puede contener muchas empresas del mismo sector, país o factor y conservar exposiciones comunes elevadas. Tampoco garantiza eficiencia ni considera costes, impuestos, liquidez o cambios en la información.
¿Cuántos activos son suficientes?
No existe una cifra universal. Evans & Archer (1968) observaron que gran parte de la reducción de dispersión aparecía con carteras relativamente pequeñas y contribuyeron a popularizar la referencia aproximada de diez acciones. Statman (1987) mostró después que ese umbral dependía del criterio económico utilizado y estimó al menos 30 acciones para un inversor que se endeudaba y 40 para uno que prestaba. Campbell et al. (2001) documentaron, además, que el aumento de la volatilidad específica de las empresas elevó el número necesario para alcanzar un mismo grado de diversificación.
Por ello no presentamos seis, diez o cualquier otra cantidad como «diversificación máxima». El resultado depende de qué activos se eligen, sus correlaciones, sectores, países, horizonte y medida de riesgo. Mantener muchas acciones individuales también introduce costes de contratación, fiscalidad, rebalanceo, recopilación de información y seguimiento. Un vehículo colectivo diversificado puede reunir un número elevado de posiciones mediante un solo instrumento, pero el número de instrumentos visibles tampoco revela por sí solo las exposiciones subyacentes.
Ver la formulación matemática
La beta respecto de la cartera de mercado es:
\[ \beta_i=\frac{\operatorname{Cov}(R_i,R_M)}{\operatorname{Var}(R_M)} \]
Para una cartera con vector de pesos \(w\):
\[ \beta_P=w'\beta \]
y su rentabilidad esperada en el CAPM es:
\[ E(R_P)=r_f+\beta_P\left[E(R_M)-r_f\right] \]
Si se utiliza una representación de índice único con \(M\) como factor:
\[ \operatorname{Var}(R_i)=\beta_i^2\sigma_M^2+\sigma_{\varepsilon_i}^2 \]
El segundo término aumenta la varianza total, pero no aparece en la ecuación de rentabilidad esperada del CAPM.
Lo que el equilibrio necesita suponer
La claridad de la recta depende de condiciones fuertes:
- todos los inversores comparten las mismas expectativas sobre rentabilidades, varianzas y covarianzas;
- pueden prestar y endeudarse sin límite al mismo tipo libre de riesgo;
- no existen impuestos, costes de transacción ni restricciones relevantes;
- los activos son divisibles y negociables, y todos los inversores consideran el mismo periodo;
- las decisiones se describen adecuadamente mediante media y varianza;
- la cartera de mercado pertinente puede identificarse y medirse.
En la práctica, las betas se estiman con error, cambian con el tiempo y dependen de la referencia utilizada. La verdadera cartera de mercado debería incluir todos los activos relevantes, no solo un índice bursátil accesible. El CAPM es una referencia teórica para organizar el razonamiento; no garantiza rentabilidades ni constituye una regla automática de valoración o inversión.
El laboratorio utiliza una rentabilidad libre de riesgo, una prima de mercado y una volatilidad hipotéticas. Los datos son exclusivamente docentes; no representan expectativas actuales ni constituyen asesoramiento o una recomendación de inversión.
Cierre del recorrido
La secuencia puede leerse como una construcción acumulativa:
- Markowitz: el riesgo de una cartera depende de cómo se relacionan sus activos.
- Tobin: la elección de la cartera arriesgada se separa de la asignación entre riesgo y seguridad.
- Sharpe, 1963: un índice común reduce la información necesaria para describir las covarianzas.
- CAPM: bajo supuestos de equilibrio, \(T\) se identifica con \(M\) y la beta conecta el riesgo sistemático con la rentabilidad esperada.
El recorrido no produce una cartera recomendada. Su resultado es un mapa conceptual: muestra qué pregunta resuelve cada modelo, qué añade al anterior y qué supuestos sostienen sus conclusiones.